当你身边的朋友和你聊天时，突然提起一个叫“分形几何”的图形，部分人可能会毫不犹豫地说：“噢，我早有耳闻，就是有自相似性的图形，就像自然界中的雪花，它每一个分支都可以看作和原来的雪花一模一样的图形，这样无限细分下去。”
好吧，我承认这确实是分形，但……怎么说呢，把它抽象成自相似形有点本末倒置了。分形几何在确立之初是用来描述几何图形的粗糙程度的，这有点像对微积分的反抗。因为微积分在确立之初，其核心概念之一就是“光滑性”，即把不论多么粗糙的物体放大无限倍后也会变得光滑。但分形不一样，它认为粗糙的物体就是粗糙的，而不应把它理想化成光滑的。但分形并不要求自相似，它本身追求的就是真实的状况，拒绝理想化。所以才说把它理想化成自相似的图形有些本末倒置了。
那么，分形究竟是什么呢？专业一点来说，分形是豪斯多夫维数大于拓扑维数的图形。但我们不谈这个。我们可以这么认为：分形意味着非整数维度。为了方便你们理解，我们接下来要从维度聊起。
零维是一个奇点，它没有任何的特征。这里你们可以把特征理解成描述质量的方式，比方说，一维就是一条线，它所谓的特征就是其长度。二维是一个面，其特征便是面积。三维是一个体，其特征就是体积。我们就此打住，暂时不聊更高维。那么维度理解了，什么又是非整数维变呢？
首先我们想办法拓展维数的定义。我们利用一，二，三维中较为基础的图形来考虑。首先，我们考虑一条线段，其边长（即长度）为L，质量（也是长度）为M。现在我们让这个L变为原来的1/2，再考虑M如何变化。这显然是废话，M当然也是1/2。
如果这是在二维呢？考虑一个正方形，边长为L，质量（即面积）为M。当L变为原来的1/2时，M又如何变化呢？很明显是1/4。
再让我们考虑一个正方体，要边长为L，质量（即体积）为M。当L乘1/2后，M是何变化的？你会发现M变为了原来的1/8。
设L的变化量为s，在一维的情况下，有sL=7sM，二维则是sL=>s2M，三维呢？sL=>s3M。
如果我们设维度为D，就有一个普通的规律：sL=>sDM，其实这就是维度的真正定义。这样我们就能很好地理解非整数维度了。如开头说的雪花（科赫雪花）其维度约为1.262。
那么，分形有什么用呢？其实，分形能体现自然事物的粗糙程度。如英国海岸线，其维度约为1.21，而挪威海岸线约为1.52维。这就说明了挪威海岸线远比英国海岸线粗糙。
同样，风浪滔天的海平面维度比风平浪静的海平面要高，这便是分形几何之美。
